求递推式本身的表达式

将递归式转化为求和再求出递推式本身的表达式。
考虑如下递归式：

两边同时乘以sn得到：

观察Tn项和Tn-1项之前的系数，要想转化为可以求和的递归式，必须有：

即

此时令

得到：

此时再求和可得：

所以

例题1

设n个数快速排序的操作次数为Cn，那么有

用n-1取代n可以得到

两式相减可以得到

观察形式，由上面方法可以得到

所以得

进而带入公式。可以求得

其中调和级数为：

所以最后结果为

求和三大定律

结合律、分配率、交换律。

例题2

求

这里使用求和定律来做
用n-k取代k,得到

即

两式相加得

所以

例题3

求

这里用到另一种求和的方法。
两边同时加上第n+1项，得到

所以

还可以这样求解：

求导得到：

所以

同样可以得到

多重求和

多重求和，也就是一个和式由多个下标来指定。

例题1

一个对称矩阵

求：

这是这个矩阵的上三角加对角线求和，因为是对称的嘛，可以补全下三角，加上对角线就行了。

所以

例题2

有如下式子，

调换j,k位置，得到：

所以

至此解完，可以推出一个著名不等式—-切比雪夫不等式：

例题3

使用三种方法解这个式子：

调和级数

调和级数：

方法一

首先将j和k分开，首先计算对j求和：

方法二

先计算对k求和：

方法三

按对角线求和：

由此得到了一个完全不同的表示形式，所以得到了：

几种求和方法

针对以下求和式，使用八种方法来求解：

它的答案为：

扰动法

令

所以

解出

最终得到

可以看出，我们本来是要对k的二次方求和的，但是只要对k的三次方用扰动法求和即可，因为求和过程中k的三次方项会被抵消掉。

扩展成二重指标求和

用有限微分求和

微分的形式为

如果定义

则有

似乎不能和导数形式统一起来，用起来也不方便，定义一个新的函数，叫下降阶乘幂：

这个函数有一个很好的性质，那就是

令

和积分类似，有

所以

因为有

所以有

同样可以得到

下降阶乘幂

性质一

性质二

给出下降阶乘幂为负数的定义：

性质三

性质四

定义下降阶乘幂的好处就是为了求差分方便，下降阶乘幂的差分为：

类比不定积分，不定和为：

但是这里m≠−1，若是m=−1，直接运用差分定义可以求出：

所以

性质五

什么函数的差分是自身。

进一步推广可得：

所以得到一种新的等比数列计算方法：

性质六

结合律和分配率在差分运算中也适用。

性质七

类似分部积分，这里也可以分部来求差分。

给出一个新的记号移位运算：

所以得到了差分的分部运算法则：

对两边求和，又可以得到不定求和的分布运算法则：

例一

计算

首先计算

这里可以令

所以

求和式就可以转化为不定求和来算了：

例二

计算

首先计算

这里注意要令

不能倒过来，因为Hx的不定和很难求出来。所以

所以

无限求和

之前求和式。

两边同时乘2，得：

解得：

但是同样的方式计算式子：

两边同时乘2，得：

解出：

显然是不可能的，因为这里T是发散的，所以不能这么求。

比如

再如：

求有正有负的和式。
可以考虑用不同的配对，将正负组合在一起，从而相消求和。

我们可以将正数和负数分开求和，因为正数求和已经解决了。定义：

其中

求和式对两部分分别求和：

最后可以推广到二重求和。